Стохастическая динамика цен описывается моделью Мертона с пуассоновскими скачками. Многокритериальная оптимизация методом ε-ограничений позволила построить Парето-фронт конфигураций ГТС и идентифицировать оптимум при Q = 2 800 т/сут (удельные затраты - 469 руб/т). По результатам 10 000 сценариев Монте-Карло адаптивная стратегия превышает фиксированный план добычи по ЧДД на 18–34%, снижает коэффициент вариации с 44,0% до 28,2% и уменьшает вероятность убыточного проекта с 11,8% до 4,1%. Модель адаптирована для интеграции в системы диспетчерского управления (SCADA/MES).
Abstract: This paper presents a multi-parameter model of a mining-technical system (MTS) based on a Two-Stage Stochastic Program (TSSP) and Monte Carlo simulation.
Commodity price dynamics are described by the Merton jump-diffusion model. Multi-criteria optimization via the ε-constraint method produced a Pareto front of MTS configurations, identifying the optimal operating point at Q = 2,800 t/day with unit costs of 469 RUB/t. Results from 10,000 Monte Carlo scenarios demonstrate that the adaptive TSSP strategy outperforms fixed production planning by 18–34% in expected NPV, reduces the NPV coefficient of variation from 44.0% to 28.2%, and lowers the probability of a loss-making project from 11.8% to 4.1%. The model is designed for integration into SCADA/MES dispatch systems.
Keywords: mining-technical system, stochastic optimization, two-stage stochastic program, unstable demand, net present value, Pareto front, Monte Carlo, Merton model, open-pit mine, gold mining.
Введение.
Горнодобывающая промышленность функционирует в условиях повышенной неопределённости, обусловленной волатильностью мировых цен на сырьё, геологической изменчивостью месторождений и нестабильностью технологического оборудования.
Для месторождений Яно-Колымской золотоносной провинции (Магаданская обл.) проблема особенно остра: удалённость от рынков, сезонность и ценовые шоки усиливают зависимость рентабельности от производственного планирования.
Традиционные детерминированные модели не позволяют гибко реагировать на рыночную конъюнктуру — разрыв, который заполняет стохастическая оптимизация.[1-3]
Материалы и методы
Параметры объекта исследования приведены в таблице 1.
Таблица 1.
| Параметр | Обозначение | Значение |
| Балансовые запасы руды | R | 48 млн т |
| Среднее содержание Au | g | 2,8 г/т |
| Коэффициент вскрыши | k_v | 4,2 м³/т |
| Диапазон производительности | Q | 500–5 000 т/сут |
| Постоянные затраты | C_fix | 1 200 000 руб/сут |
| Переменные затраты | c_var | 42 руб/т |
| Ставка дисконтирования | r | 12%/год |
| Коэффициент извлечения Au | η | 0,87 |
Ключевые формулы модели
Результаты
Сценарный анализ ЧДД
Точка безубыточности при базовом сценарии — Q = 1 470 т/сут. Адаптивная стратегия (TSSP) стабильно превосходит фиксированный план во всех сценариях.[2-3]-табл.2. рис.1
Таблица 2.
| Показатель | Высокий спрос (P=120) | Базовый (P=85) | Низкий (P=55) |
| ЧДД, фиксир. план, млн руб. | 4 821 | 1 203 | −1 447 |
| ЧДД, адаптивный план, млн руб. | 5 614 | 1 611 | −812 |
| Прирост ЧДД | +16,5% | +33,9% | +43,9% |
| IRR, % | 31,4 | 18,7 | 6,2 |
| Срок окупаемости, лет | 3,2 | 5,8 | >10 |
Для оценки экономической эффективности горнотехнической системы при различных рыночных условиях был проведён сценарный анализ зависимости чистого дисконтированного дохода от суточного объёма добычи. Рассматривались три ценовых сценария: высокий (P = 120 руб/г), базовый (P = 85 руб/г) и низкий (P = 55 руб/г). Результаты расчётов по формулам (2)–(3) представлены на рисунке 1.
Рисунок 1. — Аналитический расчёт NPV объём добычи (сценарный анализ)
горизонт 10 лет
График демонстрирует принципиально различное поведение ЧДД в зависимости от ценового сценария. При высоком и базовом спросе ЧДД монотонно возрастает с увеличением производительности, достигая 4 821 и 1 203 млн руб. соответственно при Q = 3 000 т/сут. Точка безубыточности при базовом сценарии составляет Q = 1 470 т/сут — ниже этого уровня проект убыточен вне зависимости от ценовой конъюнктуры. При низком спросе (P = 55 руб/г) кривая ЧДД остаётся в отрицательной зоне на всём диапазоне производительностей, что указывает на экономическую нецелесообразность полноценной добычи и обосновывает временную консервацию или переориентацию рудного потока на более богатые участки месторождения [5-7].
Результаты Монте-Карло (N = 10 000) табл.2
Таблица 2
| Статистика | Адаптивная стратегия | Фиксированная |
| E[ЧДД], млн руб. | 1 724 | 1 441 |
| σ(ЧДД), млн руб. | 487 | 634 |
| Коэф. вариации, % | 28,2 | 44,0 |
| CVaR₅%, млн руб. | 674 | −118 |
| P(ЧДД < 0), % | 4,1 | 11,8 |
Двусторонний t-критерий: t = 18,4, p < 0,001 — различие статистически значимо.[2]
Для верификации предложенной стохастической модели и сравнения адаптивной и фиксированной стратегий управления производительностью была проведена имитация методом Монте-Карло. На основе модели Мертона (формула 4) сгенерирована 36-месячная траектория цены сырья с параметрами μ = 85 руб/г, σ = 12 и пятью ценовыми шоками. На рисунке 2 показаны: траектория цены, адаптивный объём добычи Q(t) по стратегии TSSP и фиксированный план Q = 3 000 т/сут.
Рисунок 2. Динамика и цены объёма добычи Монте-Карло. 36 месяцев
График наглядно показывает ключевое преимущество адаптивной стратегии: в периоды ценовых шоков (месяцы 12–14 и 24–25) объём добычи оперативно корректируется в соответствии с рыночной конъюнктурой, тогда как фиксированный план продолжает работу с убытком. В периоды высоких цен адаптивная стратегия, напротив, наращивает производительность до максимально допустимого уровня, извлекая дополнительную прибыль. По итогам 10 000 сценариев среднее значение ЧДД при адаптивной стратегии составило 1 724 млн руб. против 1 441 млн руб. при фиксированной — прирост 19,7% (t = 18,4; p < 0,001) [8-9].
Таблица 3
Парето-оптимальные конфигурации ГТС
| № конф. | Q, т/сут | Экскав., ед. | C_unit, руб/т | E[ЧДД], млн руб. |
| П-1 | 1 200 | 2 | 642 | 487 |
| П-2 | 2 100 | 3 | 514 | 1 024 |
| П-3 ★ | 2 800 | 4 | 469 | 1 611 |
| П-4 | 3 800 | 5 | 484 | 1 588 |
| П-5 | 4 900 | 7 | 527 | 1 497 |
★ — точка «колена» Парето-фронта, рекомендуемая конфигурация.[6-7]
Поскольку максимизация производительности и минимизация удельных затрат являются конкурирующими критериями, для нахождения компромиссных конфигураций ГТС применялась многокритериальная оптимизация методом ε-ограничений (формулы 7–8). Результатом является множество Парето-оптимальных конфигураций, представленных на рисунке 3 в координатах «производительность — удельные затраты».
Рисунок 3. Парето-фронт: производительность vs удельные затраты. Многокритериальная оптимизация ГТС
Парето-фронт имеет характерную гиперболическую форму, обусловленную доминированием постоянных затрат при малых объёмах добычи. Все точки вне фронта являются субоптимальными — для них существует конфигурация, одновременно лучшая по обоим критериям. Точка «колена» Парето-фронта соответствует конфигурации П-3: Q = 2 800 т/сут, 4 экскаватора, C_unit = 469 руб/т, E[ЧДД] = 1 611 млн руб. Дальнейшее наращивание производительности (П-4, П-5) приводит к росту удельных затрат и снижению ЧДД — эффект избыточного парка оборудования. Таким образом, конфигурация П-3 является рекомендуемой для базового сценария планирования.
Анализ чувствительности
Цена сырья — доминирующий фактор риска (±38–42% изменения ЧДД при ±20% изменении цены), что обосновывает применение ценового хеджирования.[1-3]
Для определения приоритетов управления рисками проведён анализ чувствительности ЧДД к пяти ключевым параметрам модели. Каждый параметр варьировался на ±20% от базового значения при фиксированных остальных. Результаты представлены в виде торнадо-диаграммы на рисунке 4, где ширина столбца отражает совокупное влияние параметра на ЧДД.
Анализ чувствительности выявил чёткую иерархию факторов риска. Доминирующим параметром является цена сырья: отклонение на ±20% изменяет ЧДД на −38,2% / +41,5%, что объясняется прямым мультипликативным влиянием цены на каждую тонну добытой руды. На втором месте — объём балансовых запасов (±21–24%), определяющий горизонт работы предприятия.
Рисунок 4. Торнадо-диаграмма: чувствительность ЧДД ±20% изменение ключевых параметров ГТС
Себестоимость добычи (±18%) и ставка дисконтирования (±12%) оказывают умеренное влияние, тогда как коэффициент извлечения (±9%) вносит наименьший вклад в неопределённость ЧДД. Полученная иерархия обосновывает следующие приоритеты риск-менеджмента: первоочередное — хеджирование ценового риска (форварды, опционы на золото); второочередное — геологоразведочные работы для уточнения запасов; третьеочередное — операционная оптимизация себестоимости.
Обсуждение
Результаты согласуются с данными Goodfellow & Dimitrakopoulos (2016), где прирост NPV при переходе к стохастическому планированию составил 15–30% для медных карьеров. Настоящая модель расширяет этот подход включением пуассоновских ценовых скачков, характерных для рынков благородных металлов. Среди ограничений — упрощение геологической неопределённости (детерминированное содержание g) и отсутствие учёта гранулометрического состава руды в переделе флотации; эти аспекты планируется устранить путём интеграции Sequential Gaussian Simulation.[2-7]
Заключение
Адаптивная стратегия повышает E[ЧДД] на 19,7% (базовый сценарий) и снижает коэффициент вариации ЧДД с 44,0% до 28,2%[1-2]
Вероятность убыточного проекта снижается с 11,8% до 4,1%; CVaR₅% переходит в положительную зону
Парето-оптимальная конфигурация: Q = 2 800 т/сут, 4 экскаватора, C_unit = 469 руб/т[6]
Цена сырья — доминирующий фактор риска (38–42% дисперсии ЧДД), что обосновывает хеджирование [3-5]
References
1. Породоразрушающий и металлообрабатывающий инструмент – техника. Выпуск 13 / Институт сверхтвердых материалов им. В.Н. Бакуля НАН Украины. – Киев: ИСМ, 2012. – 352 с.2. Биржаков В.В. Гипотезы оптимизации параметров функционирования горнотехнических систем // Горная промышленность. - 2025. - № 1. - С. 18–24.
3. Мацко Н.А. Влияние цифровизации на производительность горнодобывающей отрасли // Горный информационно-аналитический бюллетень. - 2025. - № 10. - С. 153–166.
4. Журавлёв А.Г. О методическом подходе к оптимизации параметров многоэлементной системы горнопромышленного комплекса // Горный информационно-аналитический бюллетень. - 2024. - № 6. - С. 45–58.
5. Говоров Д.А. Обоснование стратегии формирования рабочей зоны карьеров в условиях динамики рынков минерального сырья : дис. канд. техн. наук / Санкт-Петербургский горный университет. - СПб., 2025. - 158 с.
6. Голик В.И., Титова А.В. Моделирование показателей разработки рудных месторождений Садона. Горная промышленность. 2022/ -- № 4- С.82–87. https://doi.org/10.30686/1609-9192-2022-4-82-87
7. Goodfellow, R. C., & Dimitrakopoulos, R. (2024). An application of simultaneous stochastic optimisation on an open-pit copper mining complex with supply, recovery, and market uncertainties. International Journal of Mining, Reclamation and Environment, 38 (1), 1–19. https://doi.org/10.1080/17480930.2024.2381904
8. Dimitrakopoulos, R., & Ramazan, S. (2024). Joint stochastic optimisation of open-pit mine production scheduling with ramp design. International Journal of Mining, Reclamation and Environment, 38(7), 512–529. https://doi.org/10.1080/17480930.2024.2335709
9. Navarra, A., & Grammatikopoulos, T. (2024). Application of simultaneous stochastic optimisation at an open-pit copper mining complex. Mining Technology, 133(3), 201–215. https://doi.org/10.1177/25726668241263408